Was ist ein kehrwert in der mathematik


Fahrleistung oder Laufzeit.

Umrechnungskurs
Man kann den Umrechnungskurs zwischen den Währungen Euro und britisches Pfund auf zweierlei Weise angeben, 
1 Euro  = 0,780 Pfund  oder 1 Pfund = 1,283 Euro (2. Man verbindet die freien Endpunkte der Strecken mit den gegenüberliegenden Ecken des Topfes. Die zugehörige Funktionsgleichung ist f(x) = x.

Diese Eigenschaft nennt man involutorisch, und sie kommt bei vielen Abbildungen vor.
So sind z.B.

...Werden zwei Kondensatoren hintereinander geschaltet, so haben sie die gleiche Kapazität wie der "Ersatz-Kondensator": 

C=(C1C2)/(C1+C2).
Ersatz-Induktivität parallel geschalteter Spulen
......Werden zwei Spulen parallel geschaltet, so haben sie die gleiche Induktivität wie die "Ersatz-Spule": 
L=(L1L2)/(L1+L2).
Linsenformel
......Für dünne, konvexe Linsen gilt die Linsenformel 1/f=1/g+1/b. 
Linsensystem
..... Zwei dünne Sammellinsen mit den Brennweiten f1 und f2 , die nah nebeneinander stehen, wirken wie eine Sammellinse mit der Brennweite f=(f1f2)/(f1+f2) oder durch die Brechkraft ausgedrückt D = D1+D2.

Kehrwert im Internet      top

Deutsch

mathekram [at]
Eine kleine Aufgabe

Wikipedia
Kehrwert, Reziproke Proportionalität, Harmonische Folge, Harmonische Reihe, 
Involution (Mathematik),  Inverses Element, Gruppe (Mathematik)

Englisch

Eric W.

Weisstein  (MathWorld) 
Harmonic Series, Kemper series

Wikipedia
Multiplicative inverse, Inverse proportionality, Harmonic series (mathematics), 
Involution (mathematics),  Inverse element, Group (mathematics)

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©  Oktober 2014 Jürgen Köller

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Kehrwert

Mit dem Kehrwert beschäftigen wir uns in diesem Artikel.

Oder der Kehrwert von 4 ist 1/4.

Beispiele 2: Kehrwert Dezimalzahlen und negative Zahlen

Wie sieht es bei Dezimalzahlen und negativen Zahlen aus? Bei der Funktion gehört zu jedem x-Wert genau ein y-Wert. 
Die Umkehrfunktion kann leicht mit der reziproken Funktion verwechselt werden, nicht nur wegen des ähnlichen Namens, sondern auch wegen der Schreibweise des Funktionsterms.

Dann ist 1/sqrt(2) =sqrt(2)/2. Dabei erklären wir euch, was ein Kehrwert überhaupt ist und liefern euch einige Beispiele zum besseren Verständnis. Jedoch fand ich z.B. Besonders interessant ist das letzte Beispiel. Sie ist der Proportionalitätsfaktor v=s/t zur Proportionalität s ~ t. Denn genau mit diesem müssen wir multiplizieren. auf der entsprechenden Wikipedia-Seite eine Geschwindigkeitsangabe: Die Schnecke bewegt sich im Mittel mit 7cm / min im "Schneckentempo" fort.  Durch Wahl geeigneter Einheiten ist die Maßzahl einstellig und somit anschaulich. 
(Der oben genannte Weg von 1m führt zu einer Zeit von 14,3 min.)

Ich stellte fest, dass Amerikaner, wenn sie mit dem Auto über größere Strecken fahren, die Entfernungen meist in Stunden angeben, auch weil es auf den Highways Geschwindigkeitsbegrenzungen gibt.

Eine alternative Bezeichnung ist reziproker Wert.

Weitere Links:


Über den Autor

Dennis Rudolph

Dennis Rudolph hat Mechatronik mit Schwerpunkt Automatisierungstechnik studiert. Die allgemeine Schreibweise dazu sieht wie folgt aus:

Beispiele:

Die nun folgenden Beispiele zeigen euch, wie man den Kehrwert ermittelt.

Die Höhe h' des Schnittpunktes der beiden Verbindungslinien über dem Topfboden ist das halbe harmonische Mittel h von a und b.Beweis:
Es sei w1+w2=w.
Nach dem Strahlensatz gilt rechts w2:w=h':b oder w2=h'w/b und links w1:w=h':a oder w1=h'w/a.
Daraus folgt mit w1+w2=w die Gleichung w=h'w/b+h'w/a oder 1=h'(1/b+1/a) oder h'=ab/(a+b) = (1/2)h, wzbw.. 

Die Figur stellt auch die bekannte Leiter-Aufgabe von den sich kreuzenden Leitern dar.
Siebeneck
......
Nach dem Satz des Ptolemäus gilt für die Seite a und die Diagonalen d1 und d2 des grünen Vierecks im Siebeneck die Formel d1d2=ad1+ad2 .

Mehr über Dennis Rudolph lesen.

Kehrwert bilden / umkehren

Was der Kehrwert ist und wie man diesen bildet, lernt ihr hier. +(-1)n+1(1/(2n-1))]Für n gegen Unendlich strebt die Reihe gegen den Grenzwert (1/4)pi.

Reihe mit den Kehrwerten der Quadratzahlen
In der harmonischen Reihe setzt man an Stelle der natürlichen Zahlen Quadratzahlen. 
1, 1+1/2², 1+1/2²+1/3², 1+1/2²+1/3²+1/4², ...(allgemeines Glied 1+1/2²+1/3²+1/4²+ ...

Welche Angabe bevorzugt wird, hängt vom Standpunkt ab. Der Term  f-1 beschreibt nämlich die Umkehrfunktion von f. 
Für f-1(x) sollte man deshalb, wenn überhaupt,  [f(x)]-1 schreiben. 

Reziproke Funktion
Es folgt eine Reihe von Graphen der Funktion und der reziproken Funktion.

f(x) = sin(x), r(x) = csc(x)

f(x) = cos(x), r(x) = sec(x)

f(x) = tan(x),  r(x) = cot(x)
Die sechs trigonometrischen Funktionen werden zu drei Paaren von Funktion und reziproke Funktion aufgeteilt. 
Das sind Sinus und Kosekans, Kosinus und Sekans, Tangens und Kotangens.

f(x) = x(x-1)(x-2)+1, r(x) = 1/[x(x-1)(x-2)+1] 
Vergleicht man die Graphen von f(x) und r(x), so ist eine Reihe von Aussagen möglich.
Der nebenstehende Graph zeigt alle Beziehungen in den Beispielen von oben.

(1) Wenn f(x) = 1 ist, so ist auch r(x) = 1.

(2) Strebt f(x) gegen Unendlich, so strebt r(x) gegen 0.

(3) Ist f(x1) = 0, so hat r(x) an der Stelle x1 eine Polstelle.

(4) Hat f(x) an der Stelle x2 ein Minimum, so hat r(x) dort ein Maximum.
(4') Hat f(x) an der Stelle x3 ein Maximum, so hat r(x) dort ein Minmum.
 

Begründungen
Die Aussagen (1), (2) und (3)  sind einfach einzusehen.
Zum Nachweis der Aussagen (4) und (4') muss man etwas rechnen.
Es gilt nach der Kettenregel r' = (1/f)' = (f-1)' = -(f-2)f ' =-f '/f² und nach der Quotientenregel r'' = -(f ''f²-2f f '²)/f4= (-f ''f+2f '²)/f³. 

Gelten an der Stelle  x2 die Aussagen f '(x) = 0 und f ''(x)>0, so ist dort ein Minimum.
Diese Eigenschaft hat bis auf ein Vorzeichen auch die reziproke Funktion r(x):
Es gilt r'(x) = -f '(x)/f²(x) = 0 und r''(x) = [-f ''(x)f(x)+2f '²(x)]/[f(x)]³ = [-f ''(x)/f(x)]<0.
Ergebnis: Hat f(x) an der Stelle x2 ein Minimum, so hat r(x) dort ein Maximum.

(4') Ist an der Stelle x3 ein Maximum, so nimmt r(x) dort ein Minimum an.
Der Beweis verläuft analog.

Summe von Kehrwerten      top
Harmonisches Mittel
Die einfachste Summe von Kehrwerten ist 1/x+1/y. 
Bildet man zu zwei Kehrwerten den arithmetischen Mittelwert, so ergibt sich (1/2)(1/x+1/y) = (1/2)(x+y)/(xy). 
Das ist auch der Kehrwert des harmonischen Mittels h = (2xy)/(x+y). 

Sich kreuzende Strecken
......Man gibt wie links einen rechteckigen Topf vor und trägt an den Wänden die Strecken a und b ab.

Man schreibt 1/f(x) besser nicht als f-1(x). Verknüpft man sie mit einer beliebigen reellen Zahl, so ändern sie die Zahl nicht: x*1 = x und x+0 = x.

Auf dieser Webseite habe ich einiges zum Kehrwert zusammengetragen, was ich interessant fand.

Graphische Darstellungen     top

......
Die Ausgangsfunktion ist f(x) = x.
Der Graph ist die erste Winkelhalbierende.

Der Graph zur Funktion mit Kehrwert k(x) = 1/x ist eine rechtwinklige Hyperbel.

Auch der Kehrwert des Kehrwertes ist dargestellt und das ist wieder die erste Winkelhalbierende.
Es gilt nämlich 1/(1/x) = 1*(x/1) = x.

Die Antwort ist: Ja.

Kehrwert ganzer Zahlen 

Ganze Zahlen lassen sich nämlich auch als Brüche schreiben,

Beispiel 3 

da die Division durch am Ergebnis nichts ändert.

Was ist der Kehrwert?

......Der Kehrwert ist bekannt aus der Bruchrechnung. Bei ihnen ist das Produkt 1, und der Graph ist die spezielle Hyperbel f(x) = 1/x.
Summe von Kehrwerten
In der Schulphysik kommen Gleichungen mit Summen von Kehrwerten von Größen vor.

Das ist für sie treffender als Meilen. Daraus folgt a=(d1d2)/(d1+d2) oder 1/a = 1/d1+1/d2. 

Harmonisches Dreieck
......Man kann aus dem pascalschen Dreieck ein harmonisches Dreieck aus Kehrzahlen entwickeln. 

Das Besondere ist, dass im harmonischen Dreieck jede Zahl die Summe der beiden darunter liegenden Zahlen ist.

Reihen aus Kehrwerten 
Harmonische Folge und harmonische Reihe
Man nennt die Folge der Kehrwerte der natürlichen Zahlen die harmonische Folge.

1, 1/2, 1/3, 1/4, ...

Sie wird angegeben durch eine Maßzahl und eine Einheit. 
Beispiele von Größen mit Einheiten sind Volumen (cm³), Weg (m), Zeit (Std.), Geschwindigkeit (km/h), elektrischer Widerstand (Ohm), ...
Es folgen Beispiele von Größen, bei denen auch Kehrwerte bekannt sind.

Kehrwert einer Größe
Schwingungsdauer und Frequenz
Eine kennzeichnende Größe der Schwingung ist die Schwingungsdauer T.

Ebenso ist der Kehrwert, die Frequenz f, in Gebrauch. Beim Bruch werden ganz einfach Zähler und Nenner vertauscht.

Noch ein Hinweis: Der Kehrwert von 1 ist einfach 1. Es ist für die Anschauung sinnvoll, für langsame Schwingungen die Schwingungsdauer zu verwenden. 
> Ein Fadenpendel der Länge 1m hat z.B. Man spricht auch von mileage und d.h.

(allgemeines Glied 1+1/2+1/3+1/4+ ... Damit ist gemeint, dass das Auto im Mittel für 100 km die Menge 8,5 l Benzin verbraucht. 
In Großbritannien oder in den USA wird der Benzinverbrauch durch den Kehrwert angegeben.  Man gibt den Weg in Meilen an, den man mit einem Gallon fahren kann.
Für einen Vergleich mit 8,5 l / 100 km muss man wissen, dass 1km = 0,6214 miles und 1 gallon = 3,7854 Liter oder 1 Liter = 0,2642 gallons ist.
Dann gilt für den Kehrwert (100 km)/ (8,5 l) = (100*0,6214 miles )/(8,5*0.2642 gallons) = (27 miles)/(1 gallon) = 27 mpg.

Um die Konfusion noch zu steigern: In Großbritannien wird der Benzinverbrauch zwar auch in der Einheit mpg angegeben, allerdings gilt nicht 1 gallon = 3,7854 Liter, sondern 1 gallon =  4,546 Liter.

[allgemeines Glied 1-1/2+1/3-1/4+ ... - Man könnte vielleicht die Bewegung einer Schnecke durch t/s ausdrücken, zum Beispiel durch die Zeit, die sie für einen Meter braucht. Die Zahl -x ist die Gegenzahl. Denn oftmals muss man einen Kehrwert für eine Zahl ermitteln, bei der man keinen Nenner "sieht". Stunden geben wir nur an, wenn wir demonstrieren wollen, wie schnell wir wieder einmal waren oder wie lange wir im Stau standen.

Antiproportionale Größen
Zwei Größen A und B sind antiproportional, wenn ihr Produkt AB konstant ist.

Den Kehrwert erhält man, in dem man den Zähler und den Nenner eines Bruchs vertauscht.